ÿþ<!DOCTYPE html> <html lang="pt-BR" > <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>Aula 03: Função do 2º Grau (A Parábola) - Módulo 05</title> <script src="https://cdn.tailwindcss.com"></script> <script> tailwind.config = { darkMode: 'class' } </script> <link href="https://fonts.googleapis.com/css2?family=Inter:wght@400;700;900&display=swap" rel="stylesheet"> <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script> <script> MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\\\(', '\\\\)']], displayMath: [['$$', '$$']] } }; </script> <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script> <style> body { font-family: 'Inter', sans-serif; transition: background-color 0.3s, color 0.3s; } .bg-engineering { background-color: #ffffff; background-image: linear-gradient(#3b82f605 1.1px, transparent 1.1px), linear-gradient(90deg, #3b82f605 1.1px, transparent 1.1px); background-size: 30px 30px; } html.dark .bg-engineering { background-color: #070d19; background-image: linear-gradient(#3b82f608 1.1px, transparent 1.1px), linear-gradient(90deg, #3b82f608 1.1px, transparent 1.1px); } .box-concept { padding: 2rem; border-radius: 1.5rem; position: relative; overflow: hidden; border-left-width: 6px; margin-bottom: 2rem; } .tag { display: inline-block; padding: 0.25rem 1rem; border-radius: 9999px; font-size: 0.75rem; font-weight: 900; text-transform: uppercase; letter-spacing: 0.05em; margin-bottom: 1rem; } </style> </head> <body class="bg-engineering text-slate-800 dark:text-slate-200 min-h-screen p-4 md:p-8"> <main class="max-w-4xl mx-auto bg-white/90 dark:bg-slate-900/90 backdrop-blur-md rounded-[2.5rem] p-6 md:p-12 shadow-2xl border border-white/50 dark:border-slate-800/50"> <header class="mb-10 text-center"> <div class="inline-flex items-center gap-2 px-4 py-2 bg-cyan-100 dark:bg-cyan-900/40 text-cyan-600 dark:text-cyan-400 rounded-full text-sm font-black uppercase mb-6 tracking-widest border border-cyan-200 dark:border-cyan-800/50 shadow-sm"> <svg viewBox="0 0 24 24" width="16" height="16" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" fill="none"><path d="M21 16V8a2 2 0 0 0-1-1.73l-7-4a2 2 0 0 0-2 0l-7 4A2 2 0 0 0 3 8v8a2 2 0 0 0 1 1.73l7 4a2 2 0 0 0 2 0l7-4A2 2 0 0 0 21 16z"></path></svg> Módulo 05 ⬠¢ Aula 03 </div> <h1 class="text-4xl md:text-5xl font-black text-slate-900 dark:text-white tracking-tight mb-6 leading-tight"> Função do 2º Grau (A Parábola) </h1> <p class="text-lg text-slate-600 dark:text-slate-400 max-w-2xl mx-auto font-medium leading-relaxed"> Descubra os segredos da curva mais famosa da matemática. Entenda quem dita o formato, quem define o corte e como descobrir a fórmula olhando para o desenho. </p> </header> <div id="completion-button-container" class="mb-10 flex justify-center"></div> <div class="box-concept shadow-sm border-cyan-500 bg-cyan-50 dark:bg-slate-800/50 mb-8 mt-10"> <span class="tag bg-cyan-200 dark:bg-cyan-900/50 text-cyan-800 dark:text-cyan-300">O Poder do Quadrado</span> <h3 class="text-2xl font-black text-slate-800 dark:text-white mb-2">A Anatomia da Parábola</h3> <div class="prose prose-slate dark:prose-invert max-w-none prose-p:text-lg"> <p>Assim que a letra $x$ ganha um expoente 2, a reta entorta! A máquina do 2º Grau desenha sempre uma curva chamada <strong>Parábola</strong>. A fórmula geral é:</p> <div class="math-block text-center text-2xl font-black text-cyan-600 dark:text-cyan-400">$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$</div> <p>Cada letra tem um papel visual fundamental no gráfico:</p> <ul class="list-disc pl-6 space-y-4 mt-4"> <li> <strong>A letra $a$ (Concavidade):</strong> Ã0 a "boca" da parábola. Se $a > 0$ (positivo), a parábola sorri (boca para cima). Se $a < 0$ (negativo), a parábola está triste (boca para baixo). </li> <li> <strong>A letra $c$ (Corte no Y):</strong> Assim como o $b$ na reta, a letra livre (sozinha) diz exatamente onde a parábola corta a parede vertical (eixo Y). </li> <li> <strong>O Delta ($\Delta$) e as Raízes:</strong> Aplicando Bhaskara, você acha onde ela corta o chão (eixo X). Se $\Delta > 0$, corta em dois pontos. Se $\Delta = 0$, apenas "toca" em um ponto. Se $\Delta < 0$, a parábola voa sem tocar o chão! </li> </ul> </div> </div> <h2 class="text-2xl md:text-3xl font-black text-slate-800 dark:text-white mb-6 border-b border-slate-200 dark:border-slate-800 pb-2 mt-12">Formando a Lei através do Gráfico</h2> <p class="text-lg mb-6">Em provas de concurso, você verá a imagem de uma parábola e precisará descobrir a fórmula $f(x) = ax^2 + bx + c$. Tentar montar um sistema com três letras ($a$, $b$, $c$) é loucura! O segredo é usar a <strong>Forma Fatorada</strong>.</p> <div class="bg-slate-50 dark:bg-slate-800/50 p-6 rounded-2xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 my-8"> <h3 class="text-xl font-bold text-slate-800 dark:text-white mb-4 text-center">A Fórmula Mágica Fatorada</h3> <p class="mb-4 text-center">Se você conhece as duas raízes da parábola no gráfico (os cortes no eixo X, chamadas de $r_1$ e $r_2$), você pode usar a seguinte estrutura:</p> <div class="math-block text-2xl font-black text-center text-rose-500">$$ f(x) = a \cdot (x - r_1) \cdot (x - r_2) $$</div> <hr class="border-slate-200 dark:border-slate-700 my-6"> <p class="font-bold text-center text-lg mb-4 text-cyan-600 dark:text-cyan-400">Exemplo Prático</p> <p class="mb-4">Imagine um gráfico de uma parábola que corta o eixo X nos números <strong>$2$</strong> e <strong>$5$</strong> (estas são as raízes). Além disso, o gráfico mostra que ela cruza o eixo Y no ponto <strong>$20$</strong> (ou seja, quando $x=0$, $y=20$). Qual é a função?</p> <p class="font-bold text-cyan-600 dark:text-cyan-400 mt-4">Passo 1: Montar o esqueleto da fórmula fatorada</p> <p>Colocamos as raízes $2$ e $5$ nos lugares de $r_1$ e $r_2$ (sempre trocando o sinal ao colocar no parênteses):</p> <div class="math-block">$$ f(x) = a \cdot (x - 2) \cdot (x - 5) $$</div> <hr class="border-slate-200 dark:border-slate-700 my-4"> <p class="font-bold text-cyan-600 dark:text-cyan-400 mt-4">Passo 2: Usar o ponto de corte no eixo Y para achar o 'a'</p> <p>O problema disse que ela corta o eixo Y em $20$. Isso significa que o ponto $(0, 20)$ pertence ao gráfico. Vamos trocar $x$ por $0$ e $f(x)$ por $20$ no nosso esqueleto:</p> <div class="math-block">$$ 20 = a \cdot (0 - 2) \cdot (0 - 5) $$</div> <div class="math-block">$$ 20 = a \cdot (-2) \cdot (-5) $$</div> <div class="math-block">$$ 20 = a \cdot 10 $$</div> <div class="math-block">$$ a = \frac{20}{10} = 2 $$</div> <p class="text-sm mt-2">A letra $a$ é $2$. E faz sentido, é positivo, logo a parábola do gráfico sorri!</p> <hr class="border-slate-200 dark:border-slate-700 my-4"> <p class="font-bold text-cyan-600 dark:text-cyan-400 mt-4">Passo 3: Escrever a função final</p> <p>Voltamos ao nosso esqueleto e colocamos o $a=2$:</p> <div class="math-block">$$ f(x) = 2 \cdot (x - 2) \cdot (x - 5) $$</div> <p>Fazemos o "chuveirinho" completo para liberar a equação tradicional:</p> <div class="math-block">$$ f(x) = 2 \cdot (x^2 - 5x - 2x + 10) $$</div> <div class="math-block">$$ f(x) = 2 \cdot (x^2 - 7x + 10) $$</div> <div class="math-block font-black text-xl text-cyan-600 dark:text-cyan-400">$$ f(x) = 2x^2 - 14x + 20 $$</div> <p class="text-center font-bold text-emerald-600 dark:text-emerald-400 mt-4">Pronto! Lemos o gráfico e achamos a função completa sem sofrer com sistemas gigantes!</p> </div> <div class="text-center mt-12 mb-8"> <a href="m5_t3_quiz.html?v=1" class="inline-flex items-center gap-3 bg-gradient-to-r from-blue-500 to-indigo-500 hover:from-blue-600 hover:to-indigo-600 shadow-blue-500/20 text-white font-bold py-3.5 px-6 rounded-xl shadow-lg hover:scale-[1.02] active:scale-[0.98] transition-all w-full md:w-auto justify-center select-none cursor-pointer"> Iniciar Missão Prática (+150 XP) <svg viewBox="0 0 24 24" width="20" height="20" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" fill="none"><polygon points="5 3 19 12 5 21 5 3"></polygon></svg> </a> </div> <div class="flex flex-col md:flex-row justify-between items-center gap-4 mt-8 pt-8 border-t border-slate-200 dark:border-slate-800 w-full"> <a href="m5_t2.html?v=1" class="w-full md:w-auto flex-1 inline-flex items-center justify-center md:justify-start gap-2 text-slate-600 dark:text-slate-400 hover:text-blue-600 dark:hover:text-blue-400 font-bold transition-colors px-4 py-3"> <svg viewBox="0 0 24 24" width="20" height="20" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" fill="none"><polyline points="15 18 9 12 15 6"></polyline></svg> Aula Anterior </a> <a href="modulo5.html?v=1" class="w-full md:w-auto flex-1 inline-flex items-center justify-center gap-2 text-slate-600 dark:text-slate-300 hover:text-blue-600 dark:hover:text-blue-400 font-bold transition-colors px-4 py-3"> <svg viewBox="0 0 24 24" width="20" height="20" stroke="currentColor" stroke-width="2" fill="none"><rect x="3" y="3" width="7" height="7"></rect><rect x="14" y="3" width="7" height="7"></rect><rect x="14" y="14" width="7" height="7"></rect><rect x="3" y="14" width="7" height="7"></rect></svg> Sumário </a> <a href="m5_t4.html?v=1" class="w-full md:w-auto flex-1 inline-flex items-center justify-center md:justify-end gap-2 text-slate-600 dark:text-slate-400 hover:text-blue-600 dark:hover:text-blue-400 font-bold transition-colors px-4 py-3 group"> Próxima Aula <svg viewBox="0 0 24 24" width="20" height="20" stroke="currentColor" stroke-width="2.5" fill="none" class="group-hover:translate-x-1 transition-transform"><polyline points="9 18 15 12 9 6"></polyline></svg> </a> </div> </main> <script src="progress.js"></script> <button id="theme-toggle" class="fixed bottom-6 right-6 z-[99999] bg-white dark:bg-slate-800 text-slate-800 dark:text-yellow-400 p-3.5 rounded-full shadow-2xl border border-slate-200 dark:border-slate-700 hover:scale-110 active:scale-95 transition-all flex items-center justify-center w-12 h-12 select-none cursor-pointer" title="Alternar Tema Escuro/Claro"> <span id="theme-toggle-icon" class="text-xl">ðxR"!</span> </button> <script> const themeToggleBtn = document.getElementById('theme-toggle'); const themeToggleIcon = document.getElementById('theme-toggle-icon'); if (localStorage.getItem('matematica_tema') === 'dark' || (!('matematica_tema' in localStorage) && window.matchMedia('(prefers-color-scheme: dark)').matches)) { document.documentElement.classList.add('dark'); if (themeToggleIcon) themeToggleIcon.textContent = 'âܬ ️'; } else { document.documentElement.classList.remove('dark'); if (themeToggleIcon) themeToggleIcon.textContent = 'ðxR"!'; } if (themeToggleBtn) { themeToggleBtn.addEventListener('click', () => { if (document.documentElement.classList.contains('dark')) { document.documentElement.classList.remove('dark'); localStorage.setItem('matematica_tema', 'light'); if (themeToggleIcon) themeToggleIcon.textContent = 'ðxR"!'; } else { document.documentElement.classList.add('dark'); localStorage.setItem('matematica_tema', 'dark'); if (themeToggleIcon) themeToggleIcon.textContent = 'âܬ ️'; } }); } </script> </body> </html>